Question

5．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=3+3sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知傾斜角為135°且過點P（1，2）的直線l與曲線C交于M，N兩點，求$\frac{1}{|PM|}+\frac{1}{|PN|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程化為普通方程x²+y²-6y=0，由此能求出曲線C的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），將此參數(shù)方程代入x²+y²-6y=0中，得${t^2}-2\sqrt{2}t-7=0$，由此能求出$\frac{1}{|PM|}+\frac{1}{|PN|}$的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=3+3sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x²+（y-3）²=9，即x²+y²-6y=0，
即x²+y²=6y，即ρ²=6ρsinθ，故曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6sinθ．
（Ⅱ）設(shè)直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），將此參數(shù)方程代入x²+y²-6y=0中，
化簡可得${t^2}-2\sqrt{2}t-7=0$，顯然△＞0；
設(shè)M，N所對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，故$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=2\sqrt{2}\\{t_1}{t_2}=-7\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}=\frac{{|{PM}|+|{PN}|}}{{|{PM}|•|{PN}|}}=\frac{{|{{t_1}-{t_2}}|}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{6}{7}$．

點評 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段長的倒數(shù)和的求法，考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．