Question

13．已知關(guān)于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+2m=0的兩根為sinθ和cosθ，且θ∈（0，2π）．
（1）求$\frac{{si{n^2}θ}}{{\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$的值；
（2）求m的值；
（3）求方程的兩根及此時(shí)θ的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用韋達(dá)定理、三角恒等變換化簡要求的式子，可得結(jié)果．
（2）將韋達(dá)定理得到的結(jié)果進(jìn)行變性，即可求得m的值．
（3）當(dāng)m=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時(shí)，求得此時(shí)方程的兩個實(shí)數(shù)根，從而求得sinθ、cosθ的值，進(jìn)而得到θ的值．

解答 解：（1）由韋達(dá)定理可知$\left\{\begin{array}{l}sinθ+cosθ=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}①\\ sinθ•cosθ=\frac{m}{2}②\end{array}\right.$，
而要求的式子為$\frac{{si{n^2}θ}}{sinθ-cosθ}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{{si{n^2}θ}}{sinθ-cosθ}+\frac{{co{s^2}θ}}{cosθ-sinθ}$=sinθ+cosθ=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．
（2）由①兩邊平方得1+2sinθcosθ=$\frac{{\sqrt{3}+2}}{2}$，將②代入得m=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
（3）當(dāng)m=$\frac{\sqrt{3}}{4}$時(shí)，原方程變?yōu)?x²-（1+$\sqrt{3}$）x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=0，解得x₁=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，x₂=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}sinθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ cosθ=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}sinθ=\frac{1}{2}\\ cosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$，∵θ∈（0，2π），∴θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查韋達(dá)定理、三角恒等變換，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．