Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1

2

a_n+

1

2n+1

（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n•2ⁿ}是等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）欲證明數(shù)列{a_n•2ⁿ}是等差數(shù)列，只需證明該數(shù)列的后一項與前一項的差是常數(shù)，把a_n+1=

1

2

a_n+

1

2n+1

兩邊同乘2ⁿ即可．
（2）由（1）求出數(shù)列{a_n}的通項公式，代入S_n．再用錯位相減法求{a_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+1，
∴{2ⁿa_n}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（2）S_n=

2

2

+

3

22

+…+

n+1

2n

①

1

2

Sn=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

②
①-②有

1

2

Sn=

2

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

∴Sn=3-

n+3

2n

點評：本題考查了等差數(shù)列的判斷，以及錯位相減法求數(shù)列的前n項和S_n．