Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=n²（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{2^n-1a_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，然后根據(jù)2n-1an=

Tn-Tn-1，n≥2 T1            n=1

，求出2^n-1a_n，從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的特點(diǎn)可知前n項(xiàng)和可利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求解，在等式兩邊同乘以公比，然后作差即可求出S_n．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{2^n-1a_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，則T_n=n²…（2分）∴2n-1an=

Tn-Tn-1，n≥2 T1n=1

=

2n-1，n≥2 1，n=1

=2n-1(n∈N*)
an=

2n-1

2n-1

…（6分）
（2）由Sn=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

①
2Sn=2+3+

5

2

+

7

22

+…+

2n-1

2n-2

②…（8分）
由②-①得，Sn=2+2+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

…（10分）
=2+

2(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列遞推式以及數(shù)列的求和，同時(shí)考查了利用錯(cuò)位相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．