Question

14．某農(nóng)場計劃使用可以做出30米柵欄的材料，在靠墻（墻足夠長）的位置圍出一塊矩形的菜園（如圖）．
問：（1）要是菜園的面積不小于100平方米，試確定與墻平行柵欄的長度范圍；
（2）與墻平行柵欄的長為多少時圍成的菜園面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)與墻平行柵欄的長度為x，則矩形的另一條邊長為$\frac{30-x}{2}$，從而解不等式x•$\frac{30-x}{2}$≥100即可；
（2）S=x•$\frac{30-x}{2}$≤$\frac{1}{2}$（$\frac{x+30-x}{2}$）²=$\frac{225}{2}$，從而確定最值．

解答 解：（1）設(shè)與墻平行柵欄的長度為x，則矩形的另一條邊長為$\frac{30-x}{2}$，
故S=x•$\frac{30-x}{2}$≥100，
解得，10≤x≤20，
故與墻平行柵欄的長度為10～20m；
（2）S=x•$\frac{30-x}{2}$≤$\frac{1}{2}$（$\frac{x+30-x}{2}$）²=$\frac{225}{2}$，
（當且僅當x=15時，等號成立）；
故與墻平行柵欄的長為15m時圍成的菜園面積最大，
最大面積為$\frac{225}{2}$m²．

點評 本題考查了基本不等式在求最值時的應用，同時考查了二次不等式的解法．