【題目】如果對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y,不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞, ]
B.[3,+∞)
C.[﹣2 ,2 ]
D.[﹣3,3]
【答案】D
【解析】解:實(shí)數(shù)x、y,不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立 + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立, 令f(y)= + ,
則asinx+1﹣sin2x≤f(y)min ,
當(dāng)y>0時(shí),f(y)= + ≥2 =3(當(dāng)且僅當(dāng)y=6時(shí)取“=”),f(y)min=3;
當(dāng)y<0時(shí),f(y)= + ≤﹣2 =﹣3(當(dāng)且僅當(dāng)y=﹣6時(shí)取“=”),f(y)max=﹣3,f(y)min不存在;
綜上所述,f(y)min=3.
所以,asinx+1﹣sin2x≤3,即asinx﹣sin2x≤2恒成立.
① 若sinx>0,a≤sinx+ 恒成立,令sinx=t,則0<t≤1,再令g(t)=t+ (0<t≤1),則a≤g(t)min .
由于g′(t)=1﹣ <0,
所以,g(t)=t+ 在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,
因此,g(t)min=g(1)=3,
所以a≤3;
②若sinx<0,則a≥sinx+ 恒成立,同理可得a≥﹣3;
③若sinx=0,0≤2恒成立,故a∈R;
綜合①②③,﹣3≤a≤3.
故選:D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2ex+blnx,且在P(1,f(1))處的切線方程為(3e﹣1)x﹣y+1﹣2e=0,g(x)=( ﹣1)ln(x﹣2)+ +1.
(1)求a,b的值;
(2)證明:f(x)的最小值與g(x)的最大值相等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=﹣f(x),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x﹣1,則( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[﹣3,3].
(Ⅰ)解不等式:f(x)+f(x+2)>0;
(Ⅱ)若a,b,c均為正實(shí)數(shù),且滿足a+b+c=m,求證: ≥3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中,已知點(diǎn)P(0, ),曲線C的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρ= .
(Ⅰ)判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系并說明理由;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AD與平面BCD所成的角為30°,且AB=BC=2;
(1)求三棱錐A﹣BCD的體積;
(2)設(shè)M為BD的中點(diǎn),求異面直線AD與CM所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且8sin2 .
(1)求角A的大。
(2)若a= ,b+c=3,求b和c的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),滿足x2f'(x)+xf(x)=lnx,f(e)= ,則f(x)( )
A.有極大值,無極小值
B.有極小值,無極大值
C.既有極大值又有極小值
D.既無極大值也無極小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某年高考中,某省10萬考生在滿分為150分的數(shù)學(xué)考試中,成績(jī)分布近似服從正態(tài)分布N(110,100),則分?jǐn)?shù)位于區(qū)間(130,150]分的考生人數(shù)近似為( ) (已知若X~N(μ,σ2),則P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<X<μ+3σ)=0.9974.
A.1140
B.1075
C.2280
D.2150
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