Question

直三棱柱中，，，點D在線段AB上．

    （Ⅰ）若平面，確定D點的位置并證明；

    （Ⅱ）當時，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：當D是AB中點時，∥平面．

    連接BC₁，交B₁C于E，連接DE．

    因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，

    所以側面BB₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，

    所以 DE// AC₁．   

    因為 DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，                    

    所以 AC₁∥平面B₁CD．  

    （Ⅱ）由，得AC⊥BC，以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz．則B（6, 0, 0），A （0, 8, 0），A₁（0, 8,8），B₁（6, 0, 8）．設D（a, b, 0）（，），

因為 點D在線段AB上，且， 即．

所以．

所以，．                                         

平面BCD的法向量為．

設平面B₁CD的法向量為，

由 ，， 得 ，

所以，．                

設二面角的大小為，．

所以二面角的余弦值為．