Question

直三棱柱中，，，點(diǎn)D在線段AB上．

    （Ⅰ）若平面，確定D點(diǎn)的位置并證明；

    （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：當(dāng)D是AB中點(diǎn)時(shí)，∥平面．

    連接BC₁，交B₁C于E，連接DE．

    因?yàn)槿�棱�?i>ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，

    所以側(cè)面BB₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，

    所以 DE// AC₁．   

    因?yàn)?DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，                    

    所以 AC₁∥平面B₁CD．  

    （Ⅱ）由，得AC⊥BC，以C為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．則B（6, 0, 0），A （0, 8, 0），A₁（0, 8,8），B₁（6, 0, 8）．設(shè)D（a, b, 0）（，），

因?yàn)?點(diǎn)D在線段AB上，且， 即．

所以．

所以，．                                         

平面BCD的法向量為．

設(shè)平面B₁CD的法向量為，

由 ，， 得 ，

所以，．                

設(shè)二面角的大小為，．

所以二面角的余弦值為．