Question

【題目】設(shè)f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2（a∈R）．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0；
（2）若a＞0，當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（x）≤0時(shí)恒成立，求a的取值范圍．
（3）若當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，f（x）＞0時(shí)恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由不等式f（x）≥0可得，（ax﹣2）（x+1）≥0．

當(dāng)a=0時(shí)，不等式可化為﹣2（x+1）≥0，解得x≤﹣1；

當(dāng)a≠0時(shí)，方程（ax﹣2）（x+1）=0有兩根 ．

若a＜﹣2， ，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得 ；

若a=﹣2，不等式可化為﹣2（x+1）2≥0，解得x=﹣1；

若﹣2＜a＜0， ，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得 ；

若a＞0， ，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得 ；

綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤﹣1}；當(dāng)a＜﹣2時(shí)，不等式的解集為 ；當(dāng)a=﹣2時(shí)，不等式的解集為{﹣1}；當(dāng)﹣2＜a＜0時(shí)，不等式的解集為 ；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為 ．

（2）解：因a＞0，f（x）≤0故函數(shù)f（x）開(kāi)口向上，根據(jù)二次函數(shù)的特征，若要﹣1≤x≤1時(shí)，f（x）≤0時(shí)恒成立，只需 即可．

因此，由 ，

解得0＜a≤2．

所以，a的取值范圍為（0，2]．

（3）解：若當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，設(shè)g（a）=a（x2+x）﹣2（x+1）

因此，當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，f（x）＞0時(shí)恒成立等價(jià)于當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，g（a）＞0恒成立．

當(dāng)x=0時(shí)，g（a）=﹣2＜0，不符合題意；

當(dāng)x=﹣1時(shí)，g（a）=0，不符合題意；

當(dāng)x≠0，x≠﹣1時(shí)，只需 成立即可

即 ，解得﹣2≤x≤﹣1．

所以，x的取值范圍為[﹣2，﹣1）

【解析】（I）根據(jù)a=0和a≠0以及根的大小討論求解．（II）a＞0，當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，利用二次方程根的分布，可求a的取值范圍．（III）當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，設(shè)g（a）=a（x2+x）﹣2（x+1），g（a）＞0恒成立．看成關(guān)于a的一次函數(shù)求x的取值范圍．