Question

一個(gè)正三棱柱恰好有一個(gè)內(nèi)切球（球與三棱柱的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面都相切）和一個(gè)外接球（球經(jīng)過三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)），則此內(nèi)切球與外接球表面積之比為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，當(dāng)球外切于正三棱柱時(shí)，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距，求出正三棱柱的高為，當(dāng)球外接正三棱柱時(shí)，球的圓心是正三棱柱高的中點(diǎn)，且球的圓心與正三棱柱兩個(gè)底面正三角形構(gòu)成兩個(gè)正三棱錐，求出外接球的半徑，即可求出內(nèi)切球與外接球表面積之比．

解答：解：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，其內(nèi)切球的半徑為R
當(dāng)球外切于正三棱柱時(shí)，球的半徑R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到對(duì)邊的距離即R=

3

3

a，到相對(duì)棱的距離是

2 3

3

a
又正三棱柱的高是其內(nèi)切球半徑的2倍，故正三棱柱的高為

2 3

3

a，
 球外接正三棱柱時(shí)，球的圓心是正三棱柱高的中點(diǎn)，且球的圓心與正三棱柱兩個(gè)底面正三角形構(gòu)成兩個(gè)正三棱錐，頂點(diǎn)在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到頂點(diǎn)的距離

2 3

3

a，棱錐的高為

3

3

a
故正三棱錐外接球的半徑滿足R22=(

2 3

3

a)2+(

3

3

a)2=

5

3

a2，
∴內(nèi)切球與外接球表面積之比為4（πR²）：（4πR₂²）=R²：R₂²=1：5．
故答案為1：5

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，是�？碱}型，求內(nèi)切球與外接球的半徑是本題的關(guān)鍵．