Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=t，點（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，n∈N^*．
（1）若數列{a_n}是等比數列，求實數t的值；
（2）設b_n=na_n，在（1）的條件下，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設各項均不為0的數列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的整數i的個數稱為這個數列{c_n}的“積異號數”，令（n∈N^*），在（2）的條件下，求數列{c_n}的“積異號數”．

Answer 1

解：（1）由題意可得，當n≥2時，有，
兩式相減，得 a_n+1 -a_n =2a_n，即a_n+1=3a_n （n≥2）
所以，當n≥2時，{a_n}是等比數列，要使n≥1時{a_n}是等比數列，
則只需，從而得出t=1．
（2）由（1）得，等比數列{a_n}的首項為a₁=1，公比q=3，∴．
∴，
∴，①（7分）
上式兩邊乘以3得②，
①-②得，
∴．
（3）由（2）知，∵，
∵，，∴c₁c₂=-1＜0．
∵，∴數列{c_n}遞增．
由，得當n≥2時，c_n＞0．
∴數列{c_n}的“積異號數”為1．
分析：（1）根據數列的第n項與前n項和的關系可得n≥2時，有，化簡得a_n+1=3a_n （n≥2），要使n≥1時{a_n}是等比數列，只需，從而得出t的值．
（2）由（1）得，等比數列{a_n}的首項為a₁=1，公比q=3，故有，從而得到，用錯位相減法求出數列{b_n}的前n項和T_n ．
（3）由條件求得，計算可得c₁c₂=-1＜0，再由c_n+1-c_n＞0可得，數列{c_n}遞增，由，得當n≥2時，c_n＞0，由此求得數列{c_n}的“積異號數”為1．
點評：本題主要考查等比關系的確定，用錯位相減法對數列進行求和，數列的第n項與前n項和的關系，數列與函數的綜合，屬于難題．