Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義f″（x）是y=f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的導函數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．可以證明，任何三次函數(shù)都有“拐點”，任何三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．請你根據(jù)這一結論判斷下列命題：
①存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=x³-3x²-3x+5的對稱中心也是函數(shù)y=tan

π

2

x的一個對稱中心；
③存在三次函數(shù)h（x）方程h′（x）=0有實數(shù)解x₀，且點（x₀，h（x₀））為函數(shù)y=h（x）的對稱中心；
④若函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

，則g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=-1006.5
其中正確命題的序號為

 

（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：①③利用三次函數(shù)對稱中心的定義和性質(zhì)進行判斷；
②根據(jù)新定義求出對稱中心，而y=tan

π

2

x的對稱中心是（

kπ

2

，0），繼而判斷；
④求得函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

的對稱中心（

1

2

，-

1

2

），g（x）+g（1-x）=-1，繼而求出值．

解答： 解：任何三次函數(shù)都有且只有一個對稱中心，故①不正確；
∵f（x）=x³-3x²-3x+5，
∴f′（x）=3x²-6x-3，
∴f″（x）=6x-6，
令f″（x）=6x-6=0，
解得x=1，f（1）=0，
∴f（x）=x³-3x²-3x+5的對稱中心是（1，0），
當x=1時，（

π

2

，0）是函數(shù)y=tan

π

2

x的一個對稱中心，故②正確，
∵任何三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，
∴存在三次函數(shù)f′（x）=0有實數(shù)解x₀，點（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對稱中心，故③正確．
∵g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

，
∴g′（x）=x²-x，
g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，
解得x=

1

2

，
g（

1

2

）=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2-

5

12

=-

1

2

，
∴函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

的對稱中心是（

1

2

，-

1

2

）
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=-1006.5，故④正確．
所以正確命題的序號為②③④
故答案為：②③④．

點評：本小題考查新定義，考查函數(shù)與導數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查計算能力，屬于中檔題．