Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2bx²+cx-2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y=5x-10．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+

1

3

mx，若g（x）的極值存在，求實數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g（x）取得極值時對應(yīng)的自變量x的值．

Answer 1

分析：（1）利用f（2）=0和f′（2）=5可得關(guān)于b，c的兩個方程，解出b，c即可．
（2）轉(zhuǎn)化為g′（x）=0有實根．根據(jù)判別式求出對應(yīng)的根，在找極值即可．

解答：解：（1）由已知，切點為（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x²+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
聯(lián)立①、②，解得c=1，b=-1，
于是函數(shù)解析式為f（x）=x³-2x²+x-2．
（2）g（x）=x³-2x²+x-2+

1

3

mx，
g′（x）=3x²-4x+1+

m

3

，令g′（x）=0．
當(dāng)函數(shù)有極值時，△≥0，方程3x²-4x+1+

m

3

=0有實根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①當(dāng)m=1時，g′（x）=0有實根x=

2

3

，在x=

2

3

左右兩側(cè)均有g(shù)′（x）＞0，故函數(shù)g（x）無極值．
②當(dāng)m＜1時，g′（x）=0有兩個實根，
x₁=

1

3

（2-

1-m

），x₂=

1

3

（2+

1-m

），
當(dāng)x變化時，g′（x）、g（x）的變化情況如下表：
故在m∈（-∞，1）時，函數(shù)g（x）有極值；
當(dāng)x=

1

3

（2-

1-m

）時g（x）有極大值；
當(dāng)x=

1

3

（2+

1-m

）時g（x）有極小值．

點評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值．