Question

已知f（x）=x³-ax在（-1，0）上是減函數(shù)
（1）求a的取值范圍
（2）當a=3時，定義數(shù)列{a_n}：a_n+1=-f（a_n）且-1＜a₁＜0，是比較a_n+1與a_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）將f（x）=x³-ax在（-1，0）上是減函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為f′（x）=3x²-a≤0對x∈（-1，0）恒成立問題，進而參變分離求函數(shù)y=3x² （-1＜x＜0）的值域即可得a的范圍；
（II）先將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為a_n+1=-（a_n³-3a_n），2（a_n-a_n+1）=a_n³-a_n=a_n×（a_n+1）×（a_n-1），由-1＜a₁＜0，遞推-1＜a₂＜a₁＜0，從而猜想a_n+1＜a_n，再利用數(shù)學歸納法證明此猜想即可
解答：解：（I）∵（x）=x³-ax，∴f′（x）=3x²-a，
∵f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)，∴3x²-a≤0對x∈（-1，0）恒成立，
即3x²≤a對x∈（-1，0）恒成立．而y=3x² （-1＜x＜0）的值域為（0，3），
∴a≥3
（II）∵a_n+1=-f（a_n），∴a_n+1=-（a_n³-3a_n），
∴2（a_n-a_n+1）=a_n³-a_n=a_n×（a_n+1）×（a_n-1），
∵-1＜a₁＜0，∴a₁×（a₁+1）×（a₁-1）＞0，從而a₁-a₂＞0，∴a₁＞a₂
∵-2a₂=a₁³-3a₁，且-1＜a₁＜0，y=x³-3x在（-1，0）上是減函數(shù)，∴-1＜a₂＜0
又2（a₂-a₃）=a₂×（a₂+1）×（a₂-1）＞0，∴a₂＞a3
猜想a_n+1＜a_n，
1°當n=1時，有-1＜a₁＜0
2°假設(shè)n=k時，-1＜a_k＜0
則∵-2a_k+1=a_k³-3a_k，且-1＜a_k＜0，y=x³-3x在（-1，0）上是減函數(shù)，∴-1＜a_k+1＜0
即n=k+1時，-1＜a_n＜0也成立
綜上得，-1＜a_n＜0，（n∈N^*）
又∵2（a_n-a_n+1）=a_n³-a_n=a_n×（a_n+1）×（a_n-1）＞0，
∴a_n+1＜a_n．
點評：本題考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍問題的解法，導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，函數(shù)與數(shù)列的綜合，歸納猜想并用數(shù)學歸納法證明的方法技巧