Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-3x²．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值與單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線與直線y=3x平行，求a的值；
（3）若函數(shù)f（x）=ax³-3x²的圖象與直線y=-2有三個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-3x²，求得f′（x）=3x²-6x，通過(guò)對(duì)f′（x）＞0與f′（x）＜0的分析，可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，求出f′（-1）即切線的斜率，利用平行的兩直線的斜率相等，列出關(guān)于a的方程，解方程，求出a的值即可；
（3）有關(guān)兩函數(shù)的公共點(diǎn)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極大值和極小值與0比較大小的問(wèn)題．函數(shù)f（x）=ax³-3x²的圖象與直線y=-2有三個(gè)公共點(diǎn)，即可轉(zhuǎn)化為[f（x）]_極大＞-2，且[f（x）]_極小＜-2，由此不難得出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-6x
令 f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=2．                            
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，f′（x）＞0．
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）、（2，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）；                                   
故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）的極大值是f（0）=0；
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）的極小值是f（2）=-4．
 （2）∵f（x）=ax³-3x²的f′（x）=3ax²-6x，則f′（-1）=3a+6
由條件 f′（-1）=3，即3a+6=3，解得a=-1，
則當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線與直線y=3x平行；
（3）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=3x²的圖象與直線y=-2沒(méi)有三個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）、（

2

a

，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

2

a

）．
又由f（0）=0＞-2，所以f（

2

a

）=-

4

a2

＜-2，
解得-2

2

＜a＜2

2

，則滿足條件的a的取值為（0，2

2

）；
③當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

2

a

），（0，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

2

a

，0）．
又由f（0）=0＞-2，所以f（

2

a

）=-

4

a2

＜-2，
解得-2

2

＜a＜2

2

，則滿足條件的a的取值為（-2

2

，0）．
綜上，若函數(shù)f（x）=ax³-3x²的圖象與直線y=-2有三個(gè)公共點(diǎn)，
則a的取值范圍為（-2

2

，0）∪（0，2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題以三次多項(xiàng)式函數(shù)為例，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問(wèn)題，屬于中檔題．