Question

某汽車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為8萬元/輛，出廠價(jià)為10萬元/輛，年銷售量為12萬輛．本年度為節(jié)能減排，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行升級(jí)換代．若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x≤

1

2

)，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.5x．
（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)投入成本增加的比例x為何值時(shí)，本年度比上年度利潤增加最多？最多為多少？

Answer 1

分析：（1）由題意可知，本年度每輛車的利潤為10（1+0.75x）-8（1+x），本年度的銷售量是12（1+0.5x），由此能求出年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式．
（2）設(shè)本年度比上年度利潤增加為f（x），則f（x）=（-3x²+6x+24）-24=-3（x-1）²+3，因?yàn)?span id="1su2gsa" class="MathJye">x∈(0，

1

2

]，在區(qū)間(0，

1

2

]上f（x）為增函數(shù)，由此能求出當(dāng)投入成本增加的比例x為何值時(shí)，本年度比上年度利潤增加最多，交能求出最多為多少．

解答：解：（1）由題意可知，本年度每輛車的利潤為10（1+0.75x）-8（1+x）
本年度的銷售量是12（1+0.5x）×10⁴，
故年利潤y=12（1+0.5x）[10（1+0.75x）-8（1+x）]×10⁴
=[（-3x²+6x+24）×10⁴，x∈（0，

1

2

]．…（6分）
（2）設(shè)本年度比上年度利潤增加為f（x），
則f（x）=[（-3x²+6x+24）-24]×10⁴=[-3（x-1）²+3]×10⁴，
因?yàn)?span id="0tkyu1b" class="MathJye">x∈(0，

1

2

]，
在區(qū)間(0，

1

2

]上f（x）為增函數(shù)，
所以當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)y=f（x）有最大值為

9

4

×10⁴．
故當(dāng)x=

1

2

時(shí)，本年度比上年度利潤增加最多，
最多為2.25億元．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．