Question

在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：2

2

x-y+3+8

2

=0和圓C₁：x²+y²+8x+F=0．若直線l被圓C₁截得的弦長為2

3

．
（1）求圓C₁的方程；
（2）設圓C₁和x軸相交于A、B兩點，點P為圓C₁上不同于A、B的任意一點，直線PA、PB交y軸于M、N點．當點P變化時，以MN為直徑的圓C₂是否經過圓C₁內一定點？請證明你的結論；
（3）若△RST的頂點R在直線x=-1上，S、T在圓C₁上，且直線RS過圓心C₁，∠SRT=30°，求點R的縱坐標的范圍．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標和半徑，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離即為弦心距，然后根據垂徑定理及勾股定理利用圓的半徑及弦心距列出方程，即可求出F，得到圓的方程；
（2）先令圓方程中y=0分別求出點A和點B的坐標，可設出點P的坐標，分別表示出直線PA和PB的斜率，然后寫出直線PA和PB的方程，分別令直線方程中y=0求出M與N的坐標，因為MN為圓C₂的直徑，根據中點坐標公式即可求出圓心的坐標，根據兩點間的距離公式求出MN，得到圓的半徑為

1

2

MN，寫出圓C₂的方程，化簡后，令y=0求出圓C₂過一定點，再利用兩點間的距離公式判斷出此點在圓C₁的內部，得證；
（3）設出R的坐標，作C₁F⊥RT于H，設C₁H=d，由題意可知d小于等于半徑2，根據在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一般，所以C₁R小于等于4，然后利用兩點間的距離公式表示出C₁R，列出不等式即可求出點R縱坐標的范圍．

解答：解：（1）圓C₁：（x+4）²+y²=16-F，
則圓心（-4，0）到直線2

2

x-y+3+8

2

=0的距離d=

|-8 2 +3+8 2 |

3

根據垂徑定理及勾股定理得：(

2 3

2

)2+（

-8 2 +3+8 2

3

）²=16-F，F=12
∴圓C₁的方程為（x+4）²+y²=4；
（2）令圓的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，則A（-6，0），B（-2，0）
設P（x₀，y₀）（y₀≠0），則（x₀+4）²+y₀²=4，得到（x₀+4）²-4=-y₀²①
∴k_PA=

y0

x0+6

則l_PA：y=

y0

x0+6

（x+6），M（0，

6y0

x0+6

）
∴則l_PB：y=

y0

x0+2

（x+2），N（0，

2y0

x0+2

）
圓C₂的方程為x²+（y-

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）²=（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）²
完全平方式展開并合并得：x²+y²-2（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）y+

12y02

(x0+4)2-4

=0
將①代入化簡得x²+y²-2（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）y=0，
令y=0，得x=±2

3

，
又點Q（-2

3

，0），
由Q到圓C₁的圓心（-4，0）的距離d=

(4-2 3 )2+0

=4-2

3

＜2，則點Q在圓C₁內，
所以當點P變化時，以MN為直徑的圓C₂經過圓C₁內一定點（-2

3

，0）；
（3）設R（-1，t），作C₁F⊥RT于H，設C₁H=d，
由于∠C₁RH=30°，∴RC₁=2d，
由題得d≤2，
∴RC₁≤4，即

9+t2

≤4，∴-

7

≤t≤

7

，
∴點A的縱坐標的范圍為[-

7

，

7

]

點評：本題考查學生靈活運用垂徑定理及勾股定理化簡求值，會根據直徑的兩個端點的坐標求出圓的方程以及掌握點與圓的位置關系的判別方法，靈活運用30°的直角三角形的邊的關系及兩點間的距離公式化簡求值，是一道比較難的題．