四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB⊥面ABCD，如圖所示.

（Ⅰ）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個(gè)四棱錐的體積；

（Ⅱ）證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°.

答案：
解析：

（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD，

∴BA是PA在面ABCD上的射影.

又DA⊥AB，∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角如圖，∠PAB=60°.

而PB是四棱錐P—ABCD的高，PB=AB·tan60°=a，

∴V錐=a·a2=a3.

（Ⅱ）證明：不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.

作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE，

∴AE=CE，∠CED=90°，故∠CEA是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

設(shè)AC與DB相交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EO⊥AC，

∴a=OA＜AE＜AD=a.

在△AEC中，

cosAEC=.

所以，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）求證：PC∥平面BDE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，側(cè)面PBC內(nèi)有BE⊥PC于E，且BE=
6
3
a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF∥平面PAD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，ABCD是正方形，O是該正方形的中心，P是平面ABCD外一點(diǎn)，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面EBD⊥平面PAC；
（3）若PA=AB=4，求四棱錐P-ABCD的全面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

正四棱錐P-ABCD的高為PO，若Q為CD中點(diǎn)，且
OQ
=
PQ
+x
PC
+y
PA
(x，y∈R)則x+y=
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐的體積為（　�。�
A、
1
3
B、1
C、
2
3
D、
4
3

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