Question

已知函數(shù)f（x）=

x

-

1

2

alnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)f（x）存在最小值時(shí)，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅱ）對(duì)（Ⅰ）中的φ（a），
（�。┊�(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，證明：φ（a）≤1；
（ⅱ）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，證明：φ′（

a+b

2

）≤

φ′(a)+φ′(b)

2

≤φ′（

2ab

a+b

）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件知，f′（x）=

1

2 x

-

a

2x

=

x -a

2x

（x＞0），然后討論a的正負(fù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出求出f（x）的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知φ′（a）=-lna，從而分別求出φ′（

a+b

2

）、

φ′(a)+φ′(b)

2

、φ′（

2ab

a+b

）的值，然后利用基本不等式可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=

1

2 x

-

a

2x

=

x -a

2x

（x＞0）．
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=

x -a

2x

＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，無(wú)最小值．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=a²．
當(dāng)0＜x＜a²時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a²）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞a²時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（a²，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（x）在x=a²處取得最小值f（a²）=a-alna．
故f（x）的最小值φ（a）的解析式為φ（a）=a-alna（a＞0）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ（a）=a-alna（a＞0），
求導(dǎo)數(shù)，得φ′（a）=-lna．
（ⅰ）令φ′（a）=0，解得a=1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，φ′（a）＞0，∴φ（a）在（0，1）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞1時(shí)，φ′（a）＜0，∴φ（a）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
∴φ（a）在a=1處取得最大值φ（1）=1．
故當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，總有φ（a）≤1．…（10分）
（ⅱ）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，

φ′(a)+φ′(b)

2

=-

lna+lnb

2

=-ln

ab

，①
φ′（

a+b

2

）=-ln（

a+b

2

）≤-ln

ab

，②
φ′（

2ab

a+b

）=-ln（

2ab

a+b

）≥-ln

2ab

2 ab

=-ln

ab

，③
由①②③，得φ′（

a+b

2

）≤

φ′(a)+φ′(b)

2

≤φ′（

2ab

a+b

）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用，以及計(jì)算能力，屬于中檔題．