已知函數(shù)f（x）=，g（x）=3e2lnx+b（x∈R+，e為常數(shù)，e=2.71828），且這兩函數(shù)的圖象有公共點，并在該公共點處的切線相同．
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）若x∈（0，1]時，證明：2[f（x）-2ex]+[2g（x）+e2]≤4x-3恒成立．
【答案】分析：（I）求導數(shù)，利用這兩函數(shù)的圖象有公共點，并在該公共點處的切線相同，建立方程組，即可求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）要證x∈（0，1]時，x2+2lnx≤4x-3恒成立，即證x∈（0，1]時，x2-4x+3+2lnx≤0恒成立，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：求導數(shù)可得：f'（x）=x+2e，g′（x）=，
設(shè)f（x）=與g（x）=3e2lnx+b的公共點為（x，y），則有
 …（3分）
解得．…（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知．
所以2[f（x）-2ex]+[2g（x）+e2]=x2+2lnx．
∴要證x∈（0，1]時，x2+2lnx≤4x-3恒成立，
即證x∈（0，1]時，x2-4x+3+2lnx≤0恒成立．…（8分）
設(shè)h（x）=x2-4x+3+2lnx（0＜x≤1），則．
∵x∈（0，1]，∴h′（x）≥0（僅當x=1時取等號）．
∴h（x）=x2-4x+3+2lnx在x∈（0，1]上為增函數(shù)．…（11分）
∴h（x）max=h（1）=0．
∴x∈（0，1]時，2[f（x）-2ex]+[2g（x）+e2]≤4x-3恒成立．…（12分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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