Question

若正整數(shù)數(shù)列1，2，3，…，2ⁿ（n∈N^*）中各項(xiàng)的最大奇數(shù)因子的和為a_n﹒求證：

n

i=1

1

aiai+1

＜

3

20

.

Answer 1

分析：先看奇數(shù)2k+1的最大奇數(shù)因子是2k+1；形如2^k（k∈N）的數(shù)的最大奇數(shù)因子是1，根據(jù)1，2，3，，2ⁿ，，2ⁿ⁺¹中各項(xiàng)的最大奇數(shù)因子之和為a_n+1，進(jìn)而表示出a_n+1，然后用分組求和的方法求得a_n的表達(dá)式，代入

1

aiai+1

，分析推斷

1

aiai+1

=

9

(4i+2)(4i+1+2)

＜

9

4i4i+1

=

9

42i+1

，代入

n

i=1

1

aiai+1

即可證明原式．

解答：證明：顯然，a₁=2
下面考慮a_n與a_n+1的關(guān)系．
奇數(shù)2k+1的最大奇數(shù)因子是2k+1；形如2^k（k∈N）的數(shù)的最大奇數(shù)因子是1．．
由于1，2，3，，2ⁿ，，2ⁿ⁺¹中各項(xiàng)的最大奇數(shù)因子之和為a_n+1，則a_n+1=1+3+5++（2ⁿ⁺¹-1）+a'_n，其中a'_n是數(shù)列2，4，6，，2ⁿ⁺¹中各項(xiàng)最大奇數(shù)因子之和，它等于1，2，3，，2ⁿ中各項(xiàng)的最大奇數(shù)因子之和．所以有a_n+1=1+3+5+…+（2ⁿ⁺¹-1）+a_n?a_n+1-a_n=4ⁿ．
因此，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=2+4+42++4n-1=

4n+2

3

，．
從而

1

aiai+1

=

9

(4i+2)(4i+1+2)

＜

9

4i4i+1

=

9

42i+1

，．
故，

n

i=1

1

aiai+1

＜

n

i=1

9

42i+1

=

3

20

[1-(

1

16

)n]＜

3

20

．

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的 求和問題．涉及了不等式的問題，綜合性強(qiáng)．