Question

我們知道：圓的任意一弦（非直徑）的中點和圓心的連線與該弦垂直；那么，若橢圓的一弦（非過原點的弦）中點與原點的連線及弦所在直線的斜率均存在，你能得到什么結(jié)論？請予以證明．

 

Answer 1

【答案】

猜測兩直線斜率之積為或；

【解析】試題分析：假若在圓中，弦的斜率與弦的中點和圓心連線的斜率都存在，

由于兩線垂直，我們知道斜率之積為；

對于方程，若，

則方程即為圓的方程，由此可以猜測兩斜率之積為或；

證明：設(shè)橢圓的一條非過原點的弦為，其兩端點的坐標分別為，

中點為，則

，即兩斜率之積為．

考點：類比推理、點差法解決橢圓與直線的中點弦問題。

點評：根據(jù)圓是長軸和短軸相等的橢圓，在圓中兩線斜率之積為，猜測在橢圓中兩斜率之積為或，然后證明，證明時注意點差法的應(yīng)用。