6.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-3,3]的圖象過原點,且在點(1,f(1))和點(-1,f(-1))處的切線斜率為-2,則f(x)=(  )
A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.是非奇非偶函數(shù)

分析 由圖象過原點,可得c=0,求出函數(shù)的導數(shù),求得切線的斜率,解方程可得a=0,b=-5,再由奇偶性的定義,即可判斷f(x)為奇函數(shù)..

解答 解:函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-3,3]的圖象過原點,
可得c=0,
f(x)=x3+ax2+bx+c的導數(shù)為f′(x)=3x2+2ax+b,
可得在x=1處的切線的斜率為3+2a+b=-2,
x=-1處的切線的斜率為3-2a+b=-2,
解方程可得a=0,b=-5,
則f(x)=x3-5x,x∈[-3,3],
由f(-x)=-f(x),可得f(x)為奇函數(shù).
故選A.

點評 本題考查導數(shù)的運用:求切線的斜率,考查函數(shù)的奇偶性的判斷,屬于中檔題.

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