Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值的充要條件；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）在[，2]上單調(diào)時，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=-2x+a-=（x＞0），
∴f（x）既有極大值又有極小值?方程2x²-ax+1=0有兩個不等的正實數(shù)根x₁，x₂．（3分）
∴，
∴a＞2，
∴函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值的充要條件是a＞2．（6分）
（2）f′（x）=-2x+a-，令g（x）=2x+（x＞0），
則g′（x）=2-，由g′（x）＜0結(jié)合題意得：g（x）在[，）上遞減，
由g′（x）＞0結(jié)合題意得：g（x）在（，2]上遞增．（8分）
又g（）=3，g（2）=，g（）=2，
∴g（x）_max=，g（x）_min=2．（10分）
若f（x）在[，2]單調(diào)遞增，則f′（x）≥0即a≥g（x），
∴a≥．
若f（x）在[，2]單調(diào)遞減，則f′（x）≤0，即a≤g（x），
∴a≤2．
所以f（x）在[，2]上單調(diào)時，則a≤2或a≥．（13分）
分析：（1）f′（x）=-2x+a-=（x＞0），由題意可得f（x）既有極大值又有極小值?方程2x²-ax+1=0有兩個不等的正實數(shù)根x₁，x₂；于是由即可求得a的取值范圍；
（2）f′（x）=-2x+a-，令g（x）=2x+，結(jié)合題意可得g（x）在[，）上遞減，g（x）在（，2]上遞增；從而可求得當(dāng)x∈[，2]時，g（x）_max=，g（x）_min=2．于是得，若f（x）在[，2]單調(diào)遞增，f′（x）≥0即a≥g（x），從而求得a的取值范圍；同理可求，若f（x）在[，2]單調(diào)遞減時a的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，突出考查構(gòu)造函數(shù)的思想，轉(zhuǎn)化與分類討論的思想，考查恒成立問題，綜合性強，難度大，屬于難題．