Question

不等式ln（1+x）-

1

4

x²≤M恒成立，則M的最小值為

 

．

Answer 1

分析：問(wèn)題轉(zhuǎn)化為M大于等于f（x）=ln(1+x)-

1

4

x2的最大值，要求函數(shù)的最值，求出導(dǎo)函數(shù)令其為零得到駐點(diǎn)，然后分區(qū)間討論函數(shù)的增減性，求出函數(shù)的極大值，考慮閉區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小，最后判斷出最大值即可．

解答：解：令f（x）=ln(1+x)-

1

4

x2，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為M大于等于f（x）的最大值．
f′(x)=

1

1+x

-

1

2

x，
令

1

1+x

-

1

2

x=0，
化簡(jiǎn)為x²+x-2=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=1．
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)增加；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)減少．
所以 f(1)=ln2-

1

4

為函數(shù)f（x）的極大值．
又因?yàn)閒（0）=0，f（2）=ln3-1＞0，f（1）＞f（2），
所以f(1)=ln2-

1

4

為函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴M≥In2-

1

4

．
則M的最小值為In2-

1

4

．
故答案為：In2-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的最值以及綜合運(yùn)算能力．