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對函數f(x)＝xsin x，現有下列命題：①函數f(x)是偶函數；②函數f(x)的最小正周期是2π；③點(π，0)是函數f(x)的圖象的一個對稱中心；④函數f(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．其中是真命題的是________．(寫出所有真命題的序號)

 

①④

【解析】∵定義域關于原點對稱，且f(－x)＝f(x)，∴函數f(x)是偶函數，①正確；∵f(x＋2π)≠f(x)，∴2π不是函數f(x)的周期，②錯誤；

∵f≠－f，∴點(π，0)不是函數f(x)的圖象的一個對稱中心，③錯誤；

∵f′(x)＝sin x＋xcos x≥0在區(qū)間上恒成立，∴函數f(x)在區(qū)間上單調遞增，又∵函數f(x)是偶函數，∴在區(qū)間上單調遞減，④正確，所以真命題的序號是①④.

 

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(2)求證：對于任意正整數n，均有1＋(e為自然對數的底數)；

(3)當a＝1時，是否存在過點(1，－1)的直線與函數y＝f(x)的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，請說明理由．

 

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(1)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；

(2)求f(x)的單調區(qū)間．

 

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