現(xiàn)有m（m≥2）個不同的數(shù)P1、P2、P3、…、Pn．將他們按一定順序排列成一列．對于其中的兩項Pi和Pj，若滿足：1≤i＜j≤m且Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序．一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)．記排列（n+1）、n、（n-1）、…3、2、1的逆序數(shù)為an．如排列2、1的逆序數(shù)a1=1，排列3、2、1的逆序數(shù)a2=3．
（1）求a3、a4、a5；
（2）求an的表達(dá)式；
（3）令bn=
an
an+1
+
an+1
an
，證明b1+b2+…bn＜2n+3，n=1，2，…．
（I）由已知得a3=6，a4=10，a5=15，
（II）∵a1=1，
a2=3=2+1，
a3=6=3+2+1，
a4=10=4+3+2+1，
a5=15=5+4+3+2+1，
…
∴不妨猜想an=n+(n-1)+…+2+1=
n(n+1)
2

（III）因為an=n+(n-1)+…+2+1=
n(n+1)
2
，
又因為bn=
n
n+2
+
n+2
n
=2+
2
n
-
2
n+2
，n=1，2，，
所以b1+b2+…+bn=2n+2[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+…+(
1
n
-
1
n+2
)]
=2n+3-
2
n+1
-
2
n+2
＜2n+3．
綜上，b1+b2+…+bn＜2n+3，n=1，2，．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

現(xiàn)有變換公式T：
4
5
x+
3
5
y=x′
3
5
x-
4
5
y=y′
可把平面直角坐標(biāo)系上的一點P（x，y）變換到這一平面上的一點P′（x′，y′）．
（1）若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，且焦距為2
2
，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2．求該橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個焦點F1、F2經(jīng)變換公式T變換后得到的點F1′和F2′的坐標(biāo)；
（2）若曲線M上一點P經(jīng)變換公式T變換后得到的點P'與點P重合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點．求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標(biāo)；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換T下的不動點的存在情況和個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•福建模擬）考察等式：
C
0
m
C
r
n-m
+
C
1
m
C
r-1
n-m
+…+
C
r
m
C
0
n-m
=
C
r
n
（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同學(xué)用概率論方法證明等式（*）如下：
設(shè)一批產(chǎn)品共有n件，其中m件是次品，其余為正品．現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品，
記事件Ak={取到的r件產(chǎn)品中恰有k件次品}，則P(Ak)=
C
k
m
C
r-k
n-m
C
r
n
，k=0，1，2，…，r．
顯然A0，A1，…，Ar為互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A0）+P（A1）+…P（Ar）=
C
0
m
C
r
n-m
+
C
1
m
C
r-1
n-m
+…+
C
r
m
C
0
n-m
C
r
n
，
所以
C
0
m
C
r
n-m
+
C
1
m
C
r-1
n-m
+…+
C
r
m
C
0
n-m
=
C
r
n
，即等式（*）成立．
對此，有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的，體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一；但有的同學(xué)對上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑．現(xiàn)有以下四個判斷：
①等式（*）成立  ②等式（*）不成立  ③證明正確  ④證明不正確
試寫出所有正確判斷的序號
①③
①③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆安徽省高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

對于在區(qū)間 [ m，n ] 上有意義的兩個函數(shù)與，如果對任意，均有，則稱與在 [ m，n ] 上是友好的，否則稱與在 [ m，n ]是不友好的．現(xiàn)有兩個函數(shù)與（a > 0且），給定區(qū)間．

（1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍；

（2）討論與在給定區(qū)間上是否友好．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆重慶市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

(12分) 對于在區(qū)間 [ m，n ] 上有意義的兩個函數(shù)與，如果對任意，均有，則稱與在 [ m，n ] 上是友好的，否則稱與在 [ m，n ]是不友好的．現(xiàn)有兩個函數(shù)與（a > 0且），給定區(qū)間．

(1)    若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍；

(2)    討論與在給定區(qū)間上是否友好．

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：福建模擬 題型：填空題

考察等式：
C0m
Crn-m
+
C1m
Cr-1n-m
+…+
Crm
C0n-m
=
Crn
（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同學(xué)用概率論方法證明等式（*）如下：
設(shè)一批產(chǎn)品共有n件，其中m件是次品，其余為正品．現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品，
記事件Ak={取到的r件產(chǎn)品中恰有k件次品}，則P(Ak)=
Ckm
Cr-kn-m
Crn
，k=0，1，2，…，r．
顯然A0，A1，…，Ar為互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A0）+P（A1）+…P（Ar）=
C0m
Crn-m
+
C1m
Cr-1n-m
+…+
Crm
C0n-m
Crn
，
所以
C0m
Crn-m
+
C1m
Cr-1n-m
+…+
Crm
C0n-m
=
Crn
，即等式（*）成立．
對此，有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的，體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一；但有的同學(xué)對上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑．現(xiàn)有以下四個判斷：
①等式（*）成立  ②等式（*）不成立  ③證明正確  ④證明不正確
試寫出所有正確判斷的序號______．

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