Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證： （Ⅰ）A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接EO， ∵E為AA1的中點，O為AC的中點
∴EO為△A1AC的中位線
∴EO∥A1C
又∵EO平面BDE，A1C平面BDE
∴A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD
∴AA1⊥BD
又∵四邊形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，
∵AA1∩AC=A，AA1、AC平面A1AC
∴BD⊥平面A1AC
又∵BD平面BDE
∴平面A1AC⊥平面BDE．

【解析】（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接EO，△A1AC中利用中位線，得EO∥A1C．再結(jié)合線面平行的判定定理，可得A1C∥平面BDE；（II）根據(jù)正方體的側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合線面垂直的定義，得到AA1⊥BD．再結(jié)合正方形的對角線互相垂直，得到AC⊥BD，從而得到BD⊥平面A1AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以證出平面A1AC⊥平面BDE．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．