Question

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓C和等軸雙曲線(xiàn)C₁，點(diǎn)(

5

，-1)在曲線(xiàn)C₁上，橢圓C的焦點(diǎn)是雙曲線(xiàn)C₁的頂點(diǎn)，且橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)M到直線(xiàn)x-

3

y-2=0的距離為4．
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C₁和橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線(xiàn)x=2與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，A、B是橢圓上位于直線(xiàn)PQ兩側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn)AB的斜率為

1

2

，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等軸雙曲線(xiàn)C₁的方程，利用C₁過(guò)(

5

，-1)點(diǎn)，即可求得等軸雙曲線(xiàn)C₁的方程；根據(jù)雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)即橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)橢圓的方程，利用M到直線(xiàn)x-

3

y-2=0的距離為4，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB的方程代入橢圓方程并化簡(jiǎn)，可得一元二次方程，進(jìn)而可表示四邊形APBQ的面積，從而可求四邊形APBQ面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等軸雙曲線(xiàn)C₁的方程為x²-y²=λ（λ≠0）
因C₁過(guò)(

5

，-1)點(diǎn)，所以(

5

)2-1=λ，解得λ=4
所以等軸雙曲線(xiàn)C₁的方程為x²-y²=4…（3分）
因?yàn)殡p曲線(xiàn)的頂點(diǎn)即橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（2，0）
所以可設(shè)橢圓的方程為

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，且M（0，b）
因?yàn)镸（0，b）到直線(xiàn)x-

3

y-2=0的距離為4，所以

|- 3 b-2|

12+3

=4
∴b=2

3

∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1…（6分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線(xiàn)AB的方程為y=

1

2

x+t
把y=

1

2

x+t代入

x2

16

+

y2

12

=1并化簡(jiǎn)得x²+tx+t²-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4，
由韋達(dá)定理得x1+x2=-t，x1x2=t2-12…（9分）
又直線(xiàn)x=2與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，所以|PQ|=6
所以四邊形APBQ的面積S=

1

2

×6×|x1-x2|=3

48-3t2

則當(dāng)t=0，面積的最大值為12

3

，即Smax=12

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，正確表示四邊形的面積是關(guān)鍵．