Question

已知函數(shù)的最大值為0，其中。
（1）求的值；
（2）若對任意，有成立，求實數(shù)的最大值；
（3）證明：

Answer 1

（1） ;（2）;（3）詳見解析．

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的特征可對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)等于零，可求出函數(shù)的零點，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上單調(diào)增，導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上單調(diào)減，就可用表示出函數(shù)的最大值進(jìn)而求出;（2）先定性分析的范圍，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，易得，即可得出矛盾，進(jìn)而只有小于零，對函數(shù)求導(dǎo)后得出導(dǎo)數(shù)為零的，再根據(jù)與零的大小關(guān)系，可發(fā)現(xiàn)要以為界進(jìn)行討論，又由結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性不難得出只有時不等式 恒成立; （3）當(dāng)時，不等式顯然成立; 當(dāng)時，首先結(jié)合（1）中所求函數(shù)得出求和的表達(dá)式，這樣與所要證不等式較近了，再結(jié)合（2）中所證不等式，取的最大值，即，兩式相結(jié)合，最后用放縮法可證得所要證明不等式．
試題解析：（1）定義域為
,由=0，得 .        1分
當(dāng)變化時，，變化情況如下

	(-a,1-a)	1-a	(1-a,+∞)
	+	0	-
	增	極大值	減

因此，在處取得最大值，故 ,所以 .       3分
（2）當(dāng)時，取有，故不合題意;當(dāng)時，令，令，得，①時，中恒成立，因此在單調(diào)遞增，從而對任意的，總有，即在恒成立．故符合題意;②當(dāng)時，對于，故在內(nèi)單調(diào)遞減，因此取，即不成立，故不合題意，綜上，的最大值為.
（3）當(dāng)時，不等式左邊右邊，不等式成立.
當(dāng)時，
   10分
在（2）中取
∴
 =
   .
綜上，          12分