在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如圖,已知橢圓=1的左、右頂點(diǎn)為A、B,右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.
(1)設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡;
(2)設(shè)x1=2,x2=,求點(diǎn)T的坐標(biāo);
(3)設(shè)t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān)).
【答案】解:由題設(shè)得A(-3,0),B(3,0),F(2,0).
(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則PF2=(x-2)2+y2,PB2=(x-3)2+y2.
由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,化簡得x=.
故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x=.
(2)由x1=2,=1及y1>0,得y1=,則點(diǎn)M(2,),從而直線AM的方程為y=x+1;
由x2=,=1及y2<0,得y2=-,則點(diǎn)N(,-),從而直線BN的方程為y=.
由
所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7,).
(3)由題設(shè)知,直線AT的方程為y= (x+3),直線BT的方程為y= (x-3).
點(diǎn)M(x1,y1)滿足
得.
因?yàn)?i>x1≠-3,則,
解得x1=,
從而得y1=.
點(diǎn)N(x2,y2)滿足.
若x1=x2,則由及m>0,得m=2,此時直線MN的方程為x=1,過點(diǎn)D(1,0).
若x1≠x2,則m≠2,直線MD的斜率kMD=,
直線ND的斜率kND=,得kMD=kND,所以直線MN過D點(diǎn).
因此,直線MN必過x軸上的點(diǎn)(1,0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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