【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)圓的方程為(x+2 )2+y2=48,F(xiàn)1是圓心,F(xiàn)2(2 ,0)是圓內(nèi)一點(diǎn),E為圓周上任一點(diǎn),線EF2的垂直平分線EF1的連線交于P點(diǎn),設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l(與x軸不重合)與曲線C交于A、B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)M.
(i)是否存在定點(diǎn)M,使得 + 為定值,若存在,求出點(diǎn)M坐標(biāo)及定值;若不存在,請說明理由;
(ii)在滿足(i)的條件下,連接并延長AO交曲線C于點(diǎn)Q,試求△ABQ面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)∵圓的方程為(x+2 )2+y2=48的圓心F1為(﹣2 ,0),半徑為4 .
依題意點(diǎn)P滿足 ,且4 >丨F1F2丨,
故點(diǎn)P的軌跡為以F1、F2為焦點(diǎn),長軸為4 的橢圓
∴曲線C的方程: .
(Ⅱ)(i)設(shè)M(t,0),設(shè)直線l的方程:x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立 ,整理得:(m2+3)y2+2mty+t2﹣12=0,
y1+y2=﹣ ,y1y2= ,
= , = ,
則 + = = ,
當(dāng)2t2+24=72﹣6t2,即t2=6時, + =1,
此時M的坐標(biāo)為(± ,0),
綜上,存在點(diǎn)M(± ,0),使得 + =1,
(ii)由(i)可知:t2=6,則丨AB丨= 丨y1﹣y2丨= ,
原點(diǎn)O直線AB的距離d= ,S△ABQ=4× × = ,
令 =μ∈[ ,+∞),則S△ABQ= = ≤ =4 ,
當(dāng)且僅當(dāng)t= ,即m=0取最大值,
∴△ABQ面積的最大值4
【解析】(Ⅰ)由足 ,且4 >丨F1F2丨,則點(diǎn)P的軌跡為以F1、F2為焦點(diǎn),長軸為4 的橢圓,即可求得橢圓方程;(Ⅱ)(i)設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,由 + = ,利用韋達(dá)定理可知2t2+24=72﹣6t2,即可求得t的值, + =1;(ii)利用弦長公式,求得丨AB丨,利用點(diǎn)到直線距離公式,換元,即可求得△ABQ面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知圓圓心為,過點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)、.
()求的取值范圍;
()是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且S4=4S2 , a2n=2an+1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 且 (λ為常數(shù)).令cn=b2n , (n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若x1 , x2 , …,x2017的平均數(shù)為4,標(biāo)準(zhǔn)差為3,且yi=﹣3(xi﹣2),i=x1 , x2 , …,x2017 , 則新數(shù)據(jù)y1 , y2 , …,y2017的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為( )
A.﹣6 9
B.﹣6 27
C.﹣12 9
D.﹣12 27
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(sin(π+ωx),2cosωx), =(2 sin( +ωx),cosωx),(ω>0),函數(shù)f(x)= ,其圖象上相鄰的兩個最低點(diǎn)之間的距離為π.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的對稱中心;
(Ⅱ)在銳角△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,tanB= ,求f(A)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線l:kx+y+4=0(k∈R)是圓C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一條對稱軸,過點(diǎn)A(0,k)作斜率為1的直線m,則直線m被圓C所截得的弦長為( )
A.
B.
C.
D.2
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓 的離心率為 ,直線y=x被橢圓C截得的線段長為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)(A,B不是橢圓C的頂點(diǎn)),點(diǎn)D在橢圓C上,且AD⊥AB,直線BD與x軸、y軸分別交于M,N兩點(diǎn).設(shè)直線BD,AM斜率分別為k1 , k2 , 證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2 , 并求出λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,則: ①若cosBcosC>sinBsinC,則△ABC一定是鈍角三角形;
②若acosA=bcosB,則△ABC為等腰三角形;
③ , ,若 ,則△ABC為銳角三角形;
④若O為△ABC的外心, ;
⑤若sin2A+sin2B=sin2C, ,
以上敘述正確的序號是 .
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