Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）+2lnx+1（a∈R）
（1）當(dāng)a=5時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若不等式f（x）≥2-a對任意x∈[1，+∞]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)的定義域為x＞0，由f（x）=x（x-a）+2lnx+1，知，當(dāng)a=5時，=，令f′（x）=0，得，由此能求出函數(shù)的極大值和極小值．
（2）由f（x）≥2-a，知x（x-a）+2lnx+1≥2-a，故x²+2lnx-1≥a（x-1）．由此入手，能夠求出實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）函數(shù)的定義域為x＞0，
∵f（x）=x（x-a）+2lnx+1，
∴，
當(dāng)a=5時，=，
令f′（x）=0，得，

x	（0，）		（）	2	（2，+∞）
y′	y′＞0	y′=0	y′＜0	y′=0	y′＞0
y	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴函數(shù)極大值，極小值y=-5+2ln2．
（2）∵f（x）≥2-a，
∴x（x-a）+2lnx+1≥2-a，
∴x²+2lnx-1≥a（x-1），（*）
當(dāng)x=1時，（*）對任意的a成立，
當(dāng)x＞1時，x²+2lnx-1≥a（x-1）等價于x²-ax+a-1≥-2lnx，
y=x²-ax+a-1和y=-lnx交于點（1，0）．
y=x²-ax+a-1有兩個或一個零點，
當(dāng)y=x²-ax+a-1的另一個零點小于或等于1時，

由圖象知（*）式恒成立．
當(dāng)y=x²-ax+a-1的另一個零點大于1時，
設(shè)f（x）=x²-ax+a-1+2lnx，

≥2
=4-a，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，取等號．
當(dāng)4-a≥0，即a≤4時，f（x）=x²-ax+a-1+2lnx在∈[1，+∞）上是增函數(shù)，
不等式f（x）≥2-a對任意x∈[1，+∞）恒成立．
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤4}．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．