Question

8．在直角坐標系xOy中，圓C₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），并以O為極點，x軸正半軸建立極坐標系．
（1）寫出圓C₁的圓心C₁的直角坐標，并將C₂化為極坐標方程；
（2）若直線C₃的極坐標方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），C₂與C₃相交于A，B兩點，求△ABC₁的面積（C₁為圓C₁的圓心．

Answer 1

分析 （1）圓C₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4，可得圓心C₁$（-\sqrt{3}，0）$．曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關系消去參數(shù)θ可得普通方程，展開利用互化公式可得極坐標方程．
（2）直線C₃的極坐標方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），可得直角坐標方程：y=$\sqrt{3}$x．原點O是C₂與C₃的一個交點，不妨設為A點，則|AB|，|AC₁|，∠BAC₁=120^°，可得△ABC₁的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC₁|sin120°．

解答 解：（1）圓C₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4，可得圓心C₁$（-\sqrt{3}，0）$．
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關系消去參數(shù)θ可得普通方程：（x-2）²+y²=4，
展開可得：x²+y²-4x=0，可得極坐標方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）直線C₃的極坐標方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），可得直角坐標方程：y=$\sqrt{3}$x．原點O是C₂與C₃的一個交點，不妨設為A點，則|AB|=2×2cos60°=2，|AC₁|=$\sqrt{3}$，∠BAC₁=120^°，
∴△ABC₁的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC₁|sin120°=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的位置關系、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．