Question

已知雙曲線C的一條漸近線為y=

1

2

x，且與橢圓x2+

y2

6

=1有公共焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）直線l：x-

2

y-2=0與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否過(guò)原點(diǎn)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）確定橢圓x2+

y2

6

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)雙曲線的方程為：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），利用雙曲線C的一條漸近線為y=

1

2

x，且與橢圓x2+

y2

6

=1有公共焦點(diǎn)，即可求得雙曲線的方程；
（2）直線l：x-

2

y-2=0與雙曲線C聯(lián)立，消元，可證明：x_Ax_B+y_Ay_B=0，即可證得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

解答：解：（1）橢圓x2+

y2

6

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±

5

）
設(shè)雙曲線的方程為：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），則

a b = 1 2 a2+b2=5

，∴a=1，b=2
∴雙曲線C：y2-

x2

4

=1；
（2）直線l：x-

2

y-2=0與雙曲線C聯(lián)立，消元可得y2-2

2

y-4=0
∴y_Ay_B=-4，yA+yB=2

2

∴x_Ax_B=2y_Ay_B+

2

（y_A+y_B）+4=4
∴x_Ax_B+y_Ay_B=0
∴OA⊥OB
∴以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．