Question

13．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}$（α為參數(shù)）．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$（ρ＞0，0＜θ＜2π）．
（Ⅰ）求C₁與C₂交點的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）P是C₁上的任意一點，過P點作與C₂的夾角為45°的直線交C₂于點A．求|PA|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出C₁與C₂的普通方程，即可求C₁與C₂交點的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）利用參數(shù)方程，結(jié)合點到直線的距離公式，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}$消去參數(shù)α，得（x-2）²+y²=4，
所以C₁的普通方程為：（x-2）²+y²=4．
將曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得：x-y-4=0．
由直線與圓的方程聯(lián)立解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
所以C₁與C₂交點的極坐標(biāo)分別為（4，0）或（2$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）． …（5分）
（Ⅱ）設(shè)P（2+2cosα，2sinα），P到直線C₂的距離為d=$\frac{|2+2cosα-2sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|$\sqrt{2}sin（α-45°）$+1|
∴|PA|的最大值=$\frac{2spjsqm_{max}}{sin45°}$=2$\sqrt{2}$+2．…（10分）

點評 本題考查了直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、化為極坐標(biāo)方程、點到直線的距離公式、直角三角形的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．