Question

已知點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)C₁：y²=2px（P＞0）上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q與拋物線(xiàn)C₂：y=2x²相切的兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)C₁于點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-6），求直線(xiàn)AB的方程及弦AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）判斷直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)C₂的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由Q（1，-6）在拋物線(xiàn)y²=2px上可得，p=18，拋物線(xiàn)方程為y²=36x（1分）
設(shè)拋物線(xiàn)C₂的切線(xiàn)方程為：y+6=k（x-1）
聯(lián)立，，由△=0，可得k=-4，k=12
由可知
由可知（3分）
易求直線(xiàn)AB方程為12x-2y-9=0（4分）
弦AB長(zhǎng)為（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），三個(gè)點(diǎn)都在拋物線(xiàn)C₁上，
故有y₀²=2px₀，y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，作差整理得，
所以直線(xiàn)QA：，
直線(xiàn)QB：（6分）
因?yàn)镼A，QB均是拋物線(xiàn)C₂的切線(xiàn)，故與拋物線(xiàn)C₂方程聯(lián)立，△=0，
可得：p²+2y₀y₁（y₀+y₁）=0，p²+2y₀y₂（y₀+y₂）=0
兩式相減整理得：y₀（y₁-y₂）（y₀+y₁+y₂）=0，即可知y₀=-（y₁+y₂）（8分）

所以直線(xiàn)AB：，
與拋物線(xiàn)y=2x²聯(lián)立消去y得關(guān)于x的一元二次方程：2y₀x²+2px-y₁（y₁+y₀）=0（10分）
易知其判別式△=0，因而直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)y=2x²相切．故直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)C₂相切．（12分）
分析：（Ⅰ）由Q（1，-6）在拋物線(xiàn)y²=2px上，求出拋物線(xiàn)方程為y²=36x，設(shè)出拋物線(xiàn)C₂的切線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)C₂聯(lián)立，用判別式等于零求出切線(xiàn)的斜率，把兩切線(xiàn)方程分別與拋物線(xiàn)C₁聯(lián)立求出點(diǎn)A，B，下求過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程與弦長(zhǎng)．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），三個(gè)點(diǎn)都在拋物線(xiàn)C₁上，代入拋物線(xiàn)方程，利用點(diǎn)差法求出直線(xiàn)QA、直線(xiàn)QB的斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出其方程，因其皆為拋物線(xiàn)C₂的切線(xiàn)，故聯(lián)立后用判別式為零得到兩個(gè)方程，從其形式上看，對(duì)其作差可以得到在點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出y₀=-（y₁+y₂）達(dá)到用已知p，y₀表示f直線(xiàn)AB的斜率的目的，表示出直線(xiàn)AB的方程，將其與拋物線(xiàn)聯(lián)立求證出判別式為零，從而得出直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切．
點(diǎn)評(píng)：考查求直線(xiàn)的方程與求弦長(zhǎng)的方法，本題求弦長(zhǎng)沒(méi)有用弦長(zhǎng)公式，而采取了代數(shù)方法求出了兩的坐標(biāo)，求弦長(zhǎng)．在第二問(wèn)中為了驗(yàn)證直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系需要求出直線(xiàn)的方程，此過(guò)程比較復(fù)雜．