Question

設函數(shù)f(x)=cos2x+4tsin2

x

2

+t3-3t(x∈R)，其中|t|＜1，將f（x）的最小值記為g（t），則函數(shù)g（t）的單調遞增區(qū)間為

 

．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用二次函數(shù)的性質和t的范圍以及sin²

x

2

的范圍確定函數(shù)的最小值的表達式，即g（t）進而對函數(shù)進行求導，利用導函數(shù)大于0求得t的范圍，即函數(shù)g（t）的遞增區(qū)間．

解答：解：f（x）=cos²x+4tsin²

x

2

+t³-3t=4sin⁴

x

2

+（4t-4）sin²

x

2

+t³-3t+1=4（sin²

x

2

+

t-1

2

）²+t³-t²-t
∵|t|≤1，sin²

x

2

≤1
∴當sin²

x

2

=-

t-1

2

時函數(shù)有最小值為g（t）=t³-t²-t
∴g'（t）=3t²-2t-1
當g'（t）=3t²-2t-1＞0，即而|t|≤1，t＜-

1

3

時，函數(shù)g（t）單調增．
故函數(shù)g（t）的單調遞增區(qū)間為：(-1，-

1

3

)
故答案為：(-1，-

1

3

)

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質以及利用導函數(shù)判斷函數(shù)單調性的問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．