在數(shù)列{an}(n∈N*)中,已知a1=1,a2k=-ak,a2k1=(-1)k+1akk∈N*. 記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

(1)求S5,S7的值;

(2)求證:對任意n∈N*,Sn≥0.

 

【答案】

(1) S5=3,S7=1.

(2)根據(jù)已知的遞推關(guān)系,然后結(jié)合整體的思想來分析得到,然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

【解析】

試題分析:解:(1)根據(jù)題意, 由于a1=1,a2k=-aka2k1=(-1)k+1ak,

故有 故可知S5=3,S7=1.        2分

(2)由題設(shè)的定義可知,對于每個(gè)正整數(shù)k,有

.                                                

.                                              ②       4分

,③

.                     ④       6分

下面證明對于所有的n≥1,Sn≥0.

對于k,用數(shù)學(xué)歸納法予以證明.

當(dāng)i=1,2,3,4,即k=0時(shí),S1=1,S2=0, S3=1, S4=2.

假設(shè)對于所有的i≤4kSi≥0,則由①、②、③、④知,

S4k+4=2Sk+1≥0,

S4k+2S4k≥0,

S4k+3S4k+2a4k+3S4k+2a4k+4S4k+2+(S4k+4S4k+3),S4k+3≥0.

接下來證明:S4k+1≥0.

k是奇數(shù),則S4k=2Sk≥2.

因?yàn)?i>k是奇數(shù),所以由題設(shè)知數(shù)列的各項(xiàng)均為奇數(shù),可知Sk也是一個(gè)奇數(shù). 于是

S4k≥2. 因此,S4k+1S4ka4k+1≥1.

k是偶數(shù),則a4k+1a2k+1ak+1. 所以S4k+1S4ka4k+1=2Skak+1SkSk1≥0.

綜上,對于所有的n≥1,Sn≥0.                                     10分

考點(diǎn):數(shù)列的遞推關(guān)系的運(yùn)用

點(diǎn)評:解題的關(guān)鍵是通過具體的例子歸納猜想結(jié)論,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法加以證明,屬于中檔題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其首項(xiàng)a1=1,公比為2;數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)b1=1,公差為d,且其前n項(xiàng)的和Sn滿足S7=14S2;
(I)求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)的和Tn;
(II)在數(shù)列{an}(n=1,2,3,4)中任取一項(xiàng)ai,在數(shù)列{bn}(1,2,3,4)中任取一項(xiàng)bk,試求滿足ai2+bi2≤81的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列an中,a1=1,an+1=1-
1
4an
,bn=
1
2an-1
,其中n∈N*
(1)求證:數(shù)列bn為等差數(shù)列;
(2)設(shè)cn=2bn,試問數(shù)列cn中是否存在三項(xiàng),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出這三項(xiàng);若不存在,說明理由.
(3)已知當(dāng)n∈N*且n≥6時(shí),(1-
m
n+3
)n<(
1
2
)m
,其中m=1,2,…n,求滿足等式3n+4n+…+(n+2)n=(bn+3)bn的所有n的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若在數(shù)列{an}中,對任意n∈N+,都有
an+2-an+1
an+1-an
=k
(k為常數(shù)),則稱{an}為“等差比數(shù)列”.下列是對“等差比數(shù)列”的判斷:
①k不可能為0
②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列
③等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列
④若an=-3n+2,則數(shù)列{an}是等差比數(shù)列;
其中正確的判斷是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年廣東省廣州市越秀區(qū)高考數(shù)學(xué)一輪雙基小題練習(xí)(05)(解析版) 題型:解答題

已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其首項(xiàng)a1=1,公比為2;數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)b1=1,公差為d,且其前n項(xiàng)的和Sn滿足S7=14S2
(I)求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)的和Tn;
(II)在數(shù)列{an}(n=1,2,3,4)中任取一項(xiàng)ai,在數(shù)列{bn}(1,2,3,4)中任取一項(xiàng)bk,試求滿足ai2+bi2≤81的概率.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案