(2012•楊浦區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
3x
2x+3
,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an),n∈N*
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)求證:數(shù)列{{
1
an
}
是等差數(shù)列.
(3)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an-1•an(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn
m-2012
2
對一切n∈N*成立,求最小正整數(shù)m的值.
分析:(1)由a1=1,an+1=f(an)=
3an
2an+3
,分別令n=1,2,3,能夠求出a2,a3,a4
(2)由an+1=f(an)=
3an
2an+3
,得
1
an+1
-
1
an
=
2
3
,由此能夠證明{
1
an
}是等差數(shù)列.
(3)由
1
an
=
2n+1
3
,得到an=
3
2n+1
,故bn=an-1an=
9
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),利用裂項(xiàng)求和法得到Sn=
9
2
(1-
1
2n+1
)
,由此能夠求出Sn
m-2012
2
對一切n∈N*成立時(shí)最小正整數(shù)m的值.
解答:(1)解:由a1=1,an+1=f(an)=
3an
2an+3
,
得a2=
3×1
2×1+3
=
3
5
,
a3=
3
5
3
5
+3
=
3
7

a4=
3
7
3
7
+3
=
1
3
.…(3分)
(2)證明:由an+1=f(an)=
3an
2an+3
,
1
an+1
-
1
an
=
2
3
,…(8分)
所以,{
1
an
}是首項(xiàng)為1,公差為
2
3
的等差數(shù)列,…(9分)
(3)解:由(2)得
1
an
=1+
2
3
(n-1)
=
2n+1
3
,
an=
3
2n+1
,…-(10分)
當(dāng)n≥2時(shí),bn=an-1an=
9
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),
當(dāng)n=1時(shí),上式同樣成立,…(12分)

所以Sn=b1+b2+b3+…+bn
=
9
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)

=
9
2
(1-
1
2n+1
)
,
因?yàn)?span id="xy2wbfv" class="MathJye">Sn
m-2012
2
,
所以
9
2
(1-
1
2n+1
)<
m-2012
2
對一切n∈N*成立,…(14分)
9
2
(1-
1
2n+1
)
隨n遞增,
lim
n→∞
(1-
1
2n+1
)=
9
2
,所以
9
2
m-2012
2
,
所以m≥2021,
∴mmin=2021.…(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列的證明,考查最小正整數(shù)的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,熟練掌握數(shù)列知識(shí)和不等式知識(shí),注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•楊浦區(qū)一模)已知f(x)是R上的偶函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=2x2,則f(7)=
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•楊浦區(qū)一模)設(shè)函數(shù)f(x)=log2(2x+1)的反函數(shù)為y=f-1(x),若關(guān)于x的方程f-1(x)=m+f(x)在[1,2]上有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
[log2
1
3
,log2
3
5
]
[log2
1
3
log2
3
5
]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•楊浦區(qū)一模)若直線l:ax+by=1與圓C:x2+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則點(diǎn)P(a,b)與圓C的位置關(guān)系是
P在圓外
P在圓外

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•楊浦區(qū)一模)若函數(shù)y=f(x),如果存在給定的實(shí)數(shù)對(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b恒成立,則稱y=f(x)為“Ω函數(shù)”.
(1)判斷下列函數(shù),是否為“Ω函數(shù)”,并說明理由;
①f(x)=x3         ②f(x)=2x
(2)已知函數(shù)f(x)=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)”,求出所有的有序?qū)崝?shù)對(a,b).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•楊浦區(qū)一模)計(jì)算:
lim
n→∞
(1-
2n
n+3
)
=
-1
-1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案