Question

16．已知函數(shù)f（x）=（ax-a）e^x（a∈R，且a≠0，e為自然對數(shù)的底數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)的切線的傾斜角為α，當(dāng)a=e時，求α的取值范圍；
（3）若a=0，g（x）=f′（x）-f（x）-3x²，求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；
若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．
（2）利用可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是該點(diǎn)處切線的斜率k，k=f'（x）=ex•e^x，通過求函數(shù)f'（x）=ex•e^x值域，從而求得斜率k的范圍，在由k=tanα，求得α的取值范圍．
（3）通過g'（x）=e^x-6x，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值（極值）的正負(fù)，從而得到函數(shù)與X軸的交點(diǎn)個數(shù)，也就是零點(diǎn)個數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），
當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
（2）曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)的切線的斜率k=f'（x）=ex•e^x，令F（x）=ex•e^x，則F'（x）=ee^x•（x+1），由F'（x）=0，得x=-1，列表如下：

x	（-∞，-1）	（-1，+∞）
F'（x）	-	+
F（x）	↓	↑

所以k_min=F（-1）=-1，又當(dāng)x→+∞時，F(xiàn)（x）→+∞，
所以k∈[-1，+∞），又因?yàn)閗=tanα，且α∈（0，π），
所以α的取值范圍是$[{0，\frac{π}{2}}）∪[{\frac{3π}{4}，π}）$；
（3）解法1：g（x）=e^x-3x²，從而g'（x）=e^x-6x，令h（x）=e^x-6x，則h'（x）=e^x-6，
由h'（x）=0，得x=ln6，列表如下：

x	（-∞，0）	（0，2）	（2，+∞）
h'（x）	+	-	+
h（x）	↑	↓	↑

所以h（x）_min=g'（x）_min=g'（ln6）=6（1-ln6）＜0，
且當(dāng)x→-∞及x→+∞時，g'（x）→+∞，所以g'（x）有且只有兩個零點(diǎn)，
又g'（0）=1＞0，g'（1）=e-6＜0，g'（2）=e²-12＜3²-12＜0，g'（3）=e³-18＞2.7³-18＞0，
所以，g'（x）的兩個零點(diǎn)x₁，x₂滿足x₁∈（0，1），x₂∈（2，3），
結(jié)合g'（x）的圖象可得如下表格，

x	（-∞，x1）	（x1，x2）	（x2，+∞）
g'（x）	+	-	+
g（x）	↑	↓	↑

所以，g（x）的極大值為g（x₁）＞g（0）=1＞0，極小值為$g（{x_2}）＜g（2）={e^2}-12＜0$，
且當(dāng)x→-∞及x→+∞時，g（x）→+∞（可作出g（x）的大致圖象）
從而，g（x）在R上有且只有三個零點(diǎn)．
解法2：驗(yàn)證知，g（x）的零點(diǎn)不為零，由g（x）=e^x-3x²=0得$3=\frac{e^x}{x^2}$，
令$h（x）=\frac{e^x}{x^2}（{x≠0}）$，則$h'（x）=\frac{{{e^x}（{x-2}）}}{x^3}$，由h'（x）=0，得x=2，列表如下：

x	（-∞，0）	（0，2）	（2，+∞）
h'（x）	+	-	+
h（x）	↑	↓	↑

所以，h（x）的極小值為$h（2）=\frac{e^2}{4}＜\frac{3^2}{4}＜3$，又h（x）＞0恒成立，
且當(dāng)x→-∞時，x²→+∞，e^x→0，所以h（x）→0，
當(dāng)x→0時，x²→0，e^x→1，所以h（x）→+∞，
當(dāng)x→+∞時，x²→+∞，e^x→+∞，且e^x的增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于x²的增長速度，
所以h（x）→+∞，
從而，作出h（x）的大致圖象如下：

由圖知，h（x）的圖象與直線y=3有三個交點(diǎn)，
從而，h（x）在R上有且只有三個零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題第（1）問考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，第（2）考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，第（3）問通過求出函數(shù)的最值（極值），通過函數(shù)草圖得到函數(shù)與X軸的交點(diǎn)個數(shù)，也就是零點(diǎn)個數(shù)，屬于中檔題．