Question

A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
（1）對(duì)任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數(shù)L（0＜L＜0），使得對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|ϕ（2x₁）-ϕ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）設(shè)φ（x）=，x∈[2，4]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設(shè)φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），那么這樣的x是唯一的；
（Ⅲ）設(shè)φ（x）∈A，任取x_n∈（1，2），令x_n+1=φ（2_nx），n=1，2，…，證明：給定正整數(shù)k，對(duì)任意的正整數(shù)p，不等式成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用已知條件，通過φ（x）=，x∈[2，4]，轉(zhuǎn)化不等式，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）利用反證法，推出L≥1，矛盾，什么原命題正確；
（Ⅲ）設(shè)φ（x）∈A，任取x_n∈（1，2），令x_n+1=φ（2_nx），n=1，2，…，給定正整數(shù)k，對(duì)任意的正整數(shù)p，利用放縮法證明不等式成立即可．
解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）對(duì)任意x∈[1，2]，φ（2x）∈（1，2）；x∈[1，2]，
φ（2x）≤，1＜φ（2x）≤＜2，所以φ（2x）∈（1，2）；．
對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，2]，|ϕ（2x₁）-ϕ（2x₂）|=|x₁-x₂|
3＜，
所以0＜＜，
≤L|x₁-x₂|，
令，0＜L＜1，
|ϕ（2x₁）-ϕ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，所以φ（x）∈A．…（5分）
（Ⅱ）反證法：設(shè)存在兩個(gè)x，x′∈（1，2），x≠x′使得x′=φ（2x′），
則由|φ（2x）-φ（2x′）|≤L|x-x′|，得）|x-x′|≤L|x-x′|，所以L≥1，矛盾，故結(jié)論成立．…（8分）
（Ⅲ）|x₃-x₂|=|ϕ（2x₂）-ϕ（2x₁）|≤L|x₂-x₁|，
所以|x_n+1-x_n|=|ϕ（2x_n）-ϕ（2x_n-1|≤L|x_n-x_n-1|≤L²|x_n-1-x_n-2|…
≤L^n-1|x₂-x₁||x_k+p-x_k|=|（x_k+p-x_k+p-1）+（x_k+p-1-x_k+p-2）+…+（x_k+1-x_k）|
≤|x_k+p-x_k+p-1|+|x_k+p-1-x_k+p-2|+…+|x_k+1-x_k|
≤L^k+p-2|x₂-x₁|+L^k+p-3|x₂-x₁|+…+L^k-1|x₂-x₁|
=．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查已知條件的應(yīng)用，反證法以及放縮法證明不等式，考查分析問題與解決問題的綜合應(yīng)用，邏輯推理能力．