Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面. 若.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn) 的位置并證明，若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：

（Ⅰ）因?yàn)?，所以.

又因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，

所以底面.

而底面，

所以.

在底面中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122114232819811/SYS201205212213078437732095_DA.files/image010.png">，，

所以 ， 所以.

    又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122114232819811/SYS201205212213078437732095_DA.files/image014.png">，  所以平面.  ……………………………4分

（Ⅱ）在上存在中點(diǎn)，使得平面，

證明如下：設(shè)的中點(diǎn)是，

連結(jié)，，，

則，且.

由已知，

所以. 又，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

    因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122114232819811/SYS201205212213078437732095_DA.files/image035.png">平面，平面，

所以平面.       ……………8分

 

（Ⅲ）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，

則 .

又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122114232819811/SYS201205212213078437732095_DA.files/image042.png">平面，

所以 平面.

過作于，

連結(jié)，由三垂線定理可知.

所以是二面角的平面角.

設(shè)，則, .

在中，，所以.

所以 ，.

即二面角的余弦值為.         ………………………………13分

解法二：

因?yàn)?，

所以.

又因?yàn)閭?cè)面底面，

且側(cè)面底面，

所以 底面.[

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122114232819811/SYS201205212213078437732095_DA.files/image059.png">，

所以，，兩兩垂直.

分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

 

 

 

設(shè)，則，，，，. 

（Ⅰ），，,

所以 ，，所以，.

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122114232819811/SYS201205212213078437732095_DA.files/image076.png">， 所以平面.   ………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱的中點(diǎn)是， 則，.

     設(shè)平面的一個法向量是，則  

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122114232819811/SYS201205212213078437732095_DA.files/image081.png">，，

所以    取，則.

所以， 所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122114232819811/SYS201205212213078437732095_DA.files/image035.png">平面，所以平面.    ………………………………8分

（Ⅲ）由已知，平面，所以為平面的一個法向量.

由（Ⅱ）知，為平面的一個法向量.

設(shè)二面角的大小為，由圖可知，為銳角，

所以.

即二面角的余弦值為.           ………………………………13分

 

【解析】略