Question

已知集合A={x|x²+px+q=0}，B={x|qx²+px+1=0}．同時(shí)滿足：①A∩B≠∅，②A∩C_uB={-2}，其中p、q均為不等于零的實(shí)數(shù)，求p、q的值．

Answer 1

分析：條件①是說集合A、B有相同的元素，條件②是說-2∈A但-2∉B，A、B是兩個(gè)方程的解集，方程x²+px+q=0和qx²+px+1=0的根的關(guān)系的確定是該題的突破口，求p、q的值．

解答：解：設(shè)x₀∈A，則x₀≠0，否則將有q=0與題設(shè)矛盾．
于是由

x

2 0

+px0+q=0，兩邊同除以

x

2 0

，得q(

1

x0

)2+p

1

x0

+1=0，
知

1

x0

∈B，故集合A、B中的元素互為倒數(shù)．
由①知存在x₀∈A，
使得

1

x0

∈B，且x0=

1

x0

，
得x₀=1或x₀=-1．
由②知A={1，-2}或A={-1，-2}．
若A={1，-2}，
則B={1，-

1

2

}，有

p=-(1-2)=1 q=1×(-2)=-2.

同理，若A={-1，-2}，則B={-1，-

1

2

}，
得p=3，q=2．
綜上，p=1，q=-2或p=3，q=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及方程的根與系數(shù)的關(guān)系，是一道中檔題，考查了分類討論的思想，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面；