Question

7．若關(guān)于x的不等式$\frac{（k-1）{x}^{2}+（k-1）x+2}{{x}^{2}+x+1}$＞0的解集為R，則k的范圍為[1，9）．

Answer 1

分析 關(guān)于x的不等式$\frac{（k-1）{x}^{2}+（k-1）x+2}{{x}^{2}+x+1}$＞0的解集為R，x²+x+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，轉(zhuǎn)化為（k-1）x²+（k-1）x+2＞0的解集為R．對k分類討論，利用一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系即可得出．

解答 解：∵關(guān)于x的不等式$\frac{（k-1）{x}^{2}+（k-1）x+2}{{x}^{2}+x+1}$＞0的解集為R，x²+x+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，
∴（k-1）x²+（k-1）x+2＞0的解集為R．
當(dāng)k=1時，2＞0恒成立，因此k=1滿足條件．
當(dāng)k≠0時，可得$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{△=（k-1）^{2}-8（k-1）＜0}\end{array}\right.$，解得1＜k＜9，
綜上可得：k的范圍為[1，9）．
故答案為：[1，9）．

點評 本題考查了恒成立問題等價轉(zhuǎn)化方法、“三個二次的關(guān)系”、不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．