若P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上的點，F(xiàn)1和F2是焦點，則k=|PF1|•|PF2|的最大值和最小值分別是
4
4
和
3
3
．
分析：由題意，設(shè)|PF1|=x，故有|PF1|•|PF2|=x（4-x）=-x2+4x=-（x-2）2+4，確定x的范圍，即可求得k的最值．
解答：解：由題意，設(shè)|PF1|=x，
∵|PF1|+|PF2|=2a=4，∴|PF2|=4-x
∴|PF1|•|PF2|=x（4-x）=-x2+4x=-（x-2）2+4
∵a=2，b=
3
，∴c=
a2-b2
=1
∴1≤x≤3
∴x=1或3時，k=-x2+4x取最小值3；x=2時，k=-x2+4x取最大值為4
故答案為：4，3．
點評：本題以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查橢圓定義的運用，考查函數(shù)的構(gòu)建，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點．
（1）若P是該橢圓上的一個動點，求向量乘積
PF1
•
PF2
的取值范圍；
（2）設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，且∠MON為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．
（3）設(shè)A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．求四邊形AEBF面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下各個關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)定點F1（0，-3），F(xiàn)2（0，3），動點P（x，y）滿足條件|PF1|+|PF2|=a（a＞0），則動點P的軌跡是橢圓或線段；
②過點（0，1）作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，這樣的直線有3條；
③離心率為
1
2
，長軸長為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
12
=1；
④若3＜k＜4，則二次曲線
x2
4-k
+
y2
3-k
=1的焦點坐標(biāo)是（±1，0）．
其中真命題的序號為
②④
②④
（寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點．
（1）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的取值范圍；
（2）設(shè)A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．求四邊形AEBF面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點．
（1）若P是該橢圓上的一個動點，求向量乘積
PF1
•
PF2
的取值范圍；
（2）設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，且∠MON為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．
（3）設(shè)A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．求四邊形AEBF面積的最大值．

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