【題目】如圖,在直二面角D﹣AB﹣E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE=EB,點F在CE上,且BF⊥平面ACE;
(1)求證:AE⊥平面BCE;
(2)求二面角B﹣AC﹣E的正弦值;
(3)求點D到平面ACE的距離.

【答案】
(1)證明:∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,

∵二面角D﹣AB﹣E為直二面角,

∴平面ABCD⊥平面ABE,

又BC⊥AB,∴BC⊥平面ABE,則BC⊥AE,

又BF平面BCE,BF∩BC=B,

∴AE⊥平面BCE


(2)法一、解:連接AC、BD交于G,連接FG,

∵ABCD為正方形,∴BD⊥AC,

∵BF⊥平面ACE,BG⊥AC,∴AC⊥平面BFG,

∴FG⊥AC,即∠FGB為二面角B﹣AC﹣E的平面角,

由(1)可知,AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB,

又AE=EB,AB=2,AE=BE= ,

在直角三角形BCE中,CE= = ,BF= =

在正方形中,BG= ,在直角三角形BFG中,sin∠FGB= ;

法二、以線段AB的中點為原點O,OE所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,

過O點平行于AD的直線為z軸,建立空間直角坐標系O﹣xyz,如圖.

∵AE⊥面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,

在Rt△AEB中,AB=2,O為AB的中點,

∴OE=1.∴A(0,﹣1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),

=(1,1,0), =(0,2,2).

設平面AEC的一個法向量為 =(x,y,z),

,令x=1,得 =(1,﹣1,1)是平面AEC的一個法向量.

又平面BAC的一個法向量為 =(1,0,0),

∴cos< >= =

∴二面角B﹣AC﹣E的正弦值為


(3)法一、由(2)可知,在正方形ABCD中,BG=DG,D到平面ACE的距離等于B到平面ACE的距離,

BF⊥平面ACE,線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離,即為D到平面ACE的距離所以D到平面的距離為

法二、

解:∵AD∥z軸,AD=2,∴ =(0,0,2),

∴點D到平面ACE的距離d=| ||cos< >= =


【解析】(1)要證AE⊥平面BCE,只需證明AE垂直平面BCE內的兩條相交直線BF、BC即可;(2)連接AC、BD交于G,連接FG,說明∠FGB為二面角B﹣AC﹣E的平面角,然后求二面角B﹣AC﹣E的大;(3)利用VDACE=VEACD , 求點D到平面ACE的距離,也可以利用空間直角坐標系,向量的數(shù)量積,證明垂直,求出向量的模.

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