Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù) ．

（1）若曲線 在 處的切線為,求的值；

（2）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;

（3）若 有兩個不同極值點,且,記,求的最大值．

 

Answer 1

（1），;（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，即可求出，由題意：，即可解得：，又, 即可求出；（2）若函數(shù) 在上是單調(diào)遞增函數(shù)，等價于在上恒成立，即，利用分離參數(shù)法可得在上恒成立，可得；同理可知函數(shù) 在上是單調(diào)遞減函數(shù)，可得 ，即可求出函數(shù)f（x）在[-3,1]上是單調(diào)函數(shù)時的取值范圍；（3）令得： ，由題意：，即且，又可知，即，根據(jù) ，可得 根據(jù)可得 ，即可得到，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可．

試題解析：（1） 由題意： 解得：

∴ 又, ∴ 4分

（2）若函數(shù) 在上是單調(diào)遞增函數(shù)

則在上恒成立，即

在上恒成立，∴

若函數(shù) 在上是單調(diào)遞減函數(shù)

則在上恒成立，即

在上恒成立，∴

綜上，若函數(shù)f（x）在[-3,1]上是單調(diào)函數(shù),則的取值范圍是 8分

（3）令得：

由題意：

即且

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴ 且

又∵ ∴

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴ 12分．

考點：1．導(dǎo)數(shù)在求曲線切線上的應(yīng)用；2．導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用．