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【題目】證明與化簡．
（1）求證：cotα=tanα+2cot2α；
（2）請利用（1）的結論證明：cotα=tanα+2tan2α+4cot4α；
（3）請你把（2）的結論推到更一般的情形，使之成為推廣后的特例，并加以證明：
（4）化簡：tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°．

【答案】
（1）證明：tanα+2cot2α=tanα+

=tanα+2×

=tanα+ ﹣tanα

=cotα，

∴cotα=tanα+2cot2α．


（2）證明：∵cotα=tanα+2cot2α，

∴tanα+2tan2α+4cot4α

=cotα﹣2cot2α+2cos2α﹣4cot4α+4cot4α

=cotα，

∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α


（3）證明：一般地，cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n﹣1tan2n﹣1α+2ncot2nα，n∈N*．

證明：∵cotα=tanα+2cot2α，∴cot2α=tan2α+2cot4α，

∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α=tanα+2tan2α+22cot22α，

以此類推得cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n﹣1tan2n﹣1α+2ncot2nα，n∈N*


（4）解：tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°

=tan5°+2tan10°+4tan20°+8cot40°

=cot5°．


【解析】（1）tanα+2cot2α=tanα+2× ，由此能證明cotα=tanα+2cot2α．（2）由cotα=tanα+2cot2α，得到tanα+2tan2α+4cot4α=cotα﹣2cot2α+2cos2α﹣4cot4α+4cot4α，由此能證明cotα=tanα+2tan2α+4cot4α．（3）一般地，cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n﹣1tan2n﹣1α+2ncot2nα，n∈N* ． 再由合情推量進行證明．（4）利用（3）的一般結論直接化簡．

練習冊系列答案
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B.3
C.
D.

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