Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足，對任意x，y∈（-1，1），都有，且 對x∈（-1，0）時，f（x）＞0．
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)；
（3）證明；
（4）比較與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）要判定函數(shù)f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）與f（x）的關(guān)系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義在（-1，1）上任意取兩個值x、y，然后判定f（x）與f（y）的大小關(guān)系，從而判定函數(shù)單調(diào)性；
（3）根據(jù)求解，通過化簡變形可得結(jié)論；
（4）根據(jù)第（3）問的結(jié)論可得=f（）-f（）+f（）-f（）+…+，然后判定f（）的符合即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
（2）∵
當-1＜x＜y＜1時，，由條件知 ，
即f（x）-f（y）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，
又函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)．
（3）∵
∴=f（）=
∴原等式成立
（4）根據(jù)可知
=f（）-f（）+f（）-f（）+…+=f（）-f（）
∵x∈（-1，0）時，f（x）＞0，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴f（）＜0
∴=f（）-f（）+f（）-f（）+…+=f（）-f（）＞f（）
點評：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性性，屬于中檔題，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的“整體”性質(zhì)，單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，同時考查了性質(zhì)的應用．