Question

【題目】已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，直線l：與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．

求橢圓的方程；

若A為橢圓的上項(xiàng)點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交橢圓于N，，求k的值．

若原點(diǎn)O到直線l的距離為1，，當(dāng)時(shí)，求的面積S的范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

先根據(jù)已知條件可求出a、c的值，結(jié)合a、b、c的值可得出b的值，進(jìn)而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

先得出直線l的方程為，將直線l的方程代入橢圓方程可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入橢圓的方程，即可求出k的值；

利用原點(diǎn)O到直線l的距離可得出，將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，將韋達(dá)定理代入，結(jié)合的取值范圍可得出的取值范圍，并求出線段AB的長(zhǎng)度的表達(dá)式，可求出的取值范圍，再利用三角形的面積公式可求出S的取值范圍．

由題意可知，，于是得到，

因?yàn)橛翼旤c(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，所以，，則，

因此，橢圓的方程為；

當(dāng)點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則，直線l的方程為，

將直線l的方程代入橢圓的方程并化簡(jiǎn)得，解得，，

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

由于點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，

由于，所以，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，

將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，化簡(jiǎn)得，解得；

由于點(diǎn)O到直線l的距離為1，則有，所以，．

設(shè)點(diǎn)、，將直線l的方程代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得，

由韋達(dá)定理可得，，

，

由于，即，解得，

線段AB的長(zhǎng)為

，

所以，．

因此，的面積S的取值范圍是．